该费用由公交公司承担。一般情况下，免费搭乘的大爷摔伤医药费由公交公司承担。根据《民法典》规定，承运人应对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任。无论旅客是否购票，或者是持优待票、经承运人许可的无票旅客，都可以适用这一规定。除非伤亡是由旅客自身健康原因造成或承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。