摄动方法是一种用于解决奇异矩阵问题的数学技术，虽然本质上是拓扑而非代数的方法，但它在处理奇异矩阵时展现出强大的实用性。

举个例子，假设有一个n（大于1）阶的实数方阵A和B，并且它们满足AB=BA的条件。证明adj(A)*B=B*adj(A)。

这个问题可以通过代数方法直接证明，但使用摄动方法可能会更加简便。如果A是非奇异矩阵，那么根据AB=BA，我们可以推导出BA-1=A-1B，再结合A-1=adj(A)/det(A)，问题迎刃而解。

然而，当A是奇异矩阵时，情况会变得复杂。这时，我们可以考虑一个技巧：对于t属于0的充分小的邻域，A+tI是非奇异的。定义F(t)=adj(A+tI)*B-B*adj(A+tI)，F(t)关于t是连续的。对于充分小的|t|>0，F(t)=0。取t趋向0的极限，我们得到F(0)=0，从而证明了结论。

这个例子展示了摄动方法如何帮助我们绕过奇异矩阵带来的障碍，通过引入一个小的扰动来找到解决方案。这种技巧不仅在理论证明中有效，也是数值计算中不可或缺的工具。

摄动方法的应用范围广泛，包括但不限于奇异值分解、特征值问题以及矩阵方程求解等领域。通过适当的小扰动，我们可以将奇异矩阵转化为非奇异矩阵，进而利用已有的代数工具解决问题。

举另一个例子，考虑一个线性方程组Ax=b，其中A是奇异矩阵。通过摄动A为A+εI（ε为一个足够小的正数），我们可以得到一个非奇异矩阵，从而求解新的方程组(A+εI)x=b。当ε趋向于0时，我们得到原方程组的解。这种方法在数值线性代数中非常有用，能够有效处理奇异矩阵带来的困难。

摄动方法不仅是一种理论工具，更是一种实际操作技巧。通过引入适当的扰动，我们可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而找到问题的解答。