该地区办理宠物出国手续的机构是长春市二道区动物卫生监督所。长春市二道区动物卫生监督所是长春市二道区的一个政府机构，主要负责动物卫生监督工作。具体职责包括对动物饲养、屠宰、运输、销售等环节进行监督，确保动物及动物产品的卫生安全，防止动物疫病的传播。