设向量组α1，α2，...，αm线性无关，β1可由α1，α2，...，αm线性表示，但β2不可由α1，α2，...，αm线性表示。因为β可由向量组α1,α2,...αm-1αm线性表示，所以有β=k1α1+k2α2+...+km-1αm-1+kmαm。又因为β不能由向量组(1)线性表示，所以km≠0。由此可知，αm=(1/km)[β-(k1α1+k2α2+...+km-1αm-1)]，故αm可以由向量组(2)线性表示。假如αm可由向量组(1)线性表示，由(*)式即知β能由向量组(1)线性表示，与已知矛盾。所以αm不能由向量组(1)线性表示，但可以由向量组(2)线性表示。此结论基于线性无关性与线性表示的性质，进一步证明了向量αm在特定条件下既不能由原向量组线性表示，又能由扩展后的向量组线性表示。这一结论对于理解向量空间的基础理论具有重要意义。线性代数中，这样的结论帮助我们更好地理解向量间的相互关系，以及如何通过线性组合构建新的向量。这对于处理更复杂的向量空间问题有着重要的指导意义。在实际应用中，这种理论不仅在数学领域有重要价值，也在计算机图形学、机器学习等领域有着广泛的应用。通过这种理论，我们可以更有效地处理数据，进行模式识别和预测，从而推动相关技术的发展。