当我们探讨定积分\(\int_{e-1}^e\lnx\,dx\)时，首先需要通过分部积分法来处理这个积分。分部积分公式为\(\intu\,dv=uv-\intv\,du\)。这里，选择\(u=\lnx\)和\(dv=dx\)，则有\(du=\frac{1}{x}dx\)与\(v=x\)。将这些代入分部积分公式，我们得到\(\int\lnx\,dx=x\lnx-\intx\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\lnx-\int1\,dx=x\lnx-x+C\)。这里\(C\)为积分常数。接下来，我们应用此结果来计算定积分\(\int_{e-1}^e\lnx\,dx\)的值。将上下限代入上面的表达式：\(e\lne-e-(e-1)\ln(e-1)+(e-1)=e-e-(e-1)\ln(e-1)+e-1=e-(e-1)\ln(e-1)-1\)。通过简化上述表达式，我们可以进一步理解这个定积分的具体结果。这里的关键在于，我们不仅使用了分部积分法，还直接计算了定积分的值，展示了从不定积分到定积分的转换过程。在处理这样的问题时，理解每个步骤背后的数学原理是非常重要的，这有助于加深对积分法的理解。通过这样的练习，我们可以更加熟练地运用分部积分法来解决类似的定积分问题。