在数学中，我们经常遇到各种三角恒等式和公式，它们帮助我们解决复杂的几何和三角问题。这里我们探索一个有趣的恒等式，它涉及到正弦和余弦函数的关系。从给定的公式开始，我们得到：sinC＝(c-a)/a和sinA＝(c-a)/c。利用这两个公式，我们可以推导出1/sinA-1/sinC=1，进而得到sinC-sinA=sinAsinC。这个步骤展示了正弦函数之间的简单关系。接下来，我们进一步推导：2cos[(A+C)/2]sin[(C-A)/2]=(-1/2)[cos(A+C)-cos(A-C)]。这里我们使用了三角函数的和差公式，将复杂的表达式简化为更易于处理的形式。然后，我们再次应用三角函数的基本恒等式，将上式转换为(-1/2)[2(cos((A+C)/2))^2-1-1+2(sin((A-C)/2))^2]。经过这些推导，我们得到了一个关键等式：[cos((A+C)/2)+sin((C-A)/2)]^2=1。这个等式揭示了一个重要的几何意义：在任何三角形中，只要满足一定条件，cos[(A+C)/2]和sin[(C-A)/2]的和的平方总是等于1。这是一个关于三角函数的重要结论。最后，我们得出：sin[(C-A)/2]+cos[(C+A)/2]=1。这个结论不仅简洁地表达了前面的推导结果，还为我们提供了解决某些三角问题的新思路。通过理解和应用这些恒等式和公式，我们可以更深入地探索三角函数的奥秘。