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设函数f(x)=t(x^)+2(t^)x+t

2024-12-26 22:16:28

给定函数表达式f(x)=tx^2+2tx+t-1,其中t属于实数且t>0。我们可以将其重写为f(x)=t(x+t)^2-t^3+t-1。由于t>0,当x=-t时,f(x)取得最小值h(t)=-t^3+t-1。接下来,我们需要考虑h(t)<-2t+m对所有t∈(0,2)是否恒成立。这等价于m>-t^3+3t-1对所有t∈(0,2)是否恒成立。为了研究这个不等式,我们定义函数g(t)=-t^3+3t-1,并求其导数g'(t)=-3t^2+3。令g'(t)=0,解得t=1(因为00,说明g(t)在此区间内是增函数;当1为了确保m>-t^3+3t-1对所有t∈(0,2)恒成立,只需m大于g(t)的最大值,即m>1。因此,实数m的取值范围是(1,+∞)。