已知函数f(x)=3x2+bx+c，且不等式f(x)>0的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞）。这意味着-2和0是方程3x2+bx+c=0的两个实根。由此可知，c=0。进一步得到12-2b+c=0，解得b=6，c=0。因此，函数f(x)的解析式为f(x)=3x2+6x。

接下来考虑函数g(x)=f(x)+mx-2=3x2+(6+m)x-2。g(x)的对称轴为x=-(6+m)/6。因为g(x)在区间(2,+∞)上是单调递增的，所以有-(6+m)/6≤2，解得m≥-18。

最后，我们讨论f(x)+n≤3的情况。这等价于n≤-3x2-6x+3=-3(x+1)2+6。由于x∈[-2,2]，当x=2时，函数y=-3x2-6x+3达到最小值-21。因此，实数n的最大值为-21。

综上所述，我们得到了函数f(x)的解析式为f(x)=3x2+6x。对于函数g(x)而言，只要满足m≥-18，g(x)在(2,+∞)上就是单调递增的。而对于n的讨论，我们发现其最大值为-21，这满足了f(x)+n≤3的条件。