懂视

(1+t)du/dt+u=1+t,t>0怎么处理?

2024-11-28 10:29:59

(1+t)du/dt+u=1+t,t>0处理步骤如下:求齐次线性微分方程的通解、确定常数的特解、确定常数C(t)、得到通解。1、求齐次线性微分方程的通解。首先求解对应的齐次线性微分方程(1+t)du/dt+u=0的通解:(1+t)du/dt+u=0,将方程变形为:du/(1/u+t)=dt,对两边同时积分,得到:ln|u|+1/2ln(1+t)=C1,其中C1为常数。2、确定常数的特解。将非齐次方程改写为(1+t)du/dt+u=1+t,将右侧的1+t看做常数项,设u=C(t)v(t),其中C(t)为待定的常数函数,v(t)为待定的特解。代入原方程得到:C(t)(1+t)dv/dt=1+t,解得:v(t)=t+1,因此,待定通解为u=C(t)v(t)=C(t)(t+1)。3、确定常数C(t)。将待定通解代入到原方程中得到:(1+t)d(C(t)(t+1))/dt+C(t)(t+1)=1+t,化简得到:t(C'(t)+C(t))=1,解得:C(t)=(ln|t|+C2)/t,其中C2为常数。4、得到通解。将C(t)代入待定通解中得到完整的通解为:u=C(t)(t+1)=(ln|t|+C2)(t+1)/t,其中C2为常数。因此,(1+t)du/dt+u=1+t的通解为u=(ln|t|+C2)(t+1)/t。