在申请办理共同遗嘱公证程序时，首先需由遗嘱签署方填写申请书，提交正式申请；在公证机关审阅并确认符合规定后，对遗嘱进行审查，并颁发具有法律效力的公证书；随后通知遗嘱签署方取回公证书，自此生效，享有法律保护与支持。