当行政机关事业编制人员出现违法违纪行为时，其处理依据主要遵循一系列法律法规，包括《中国共产党纪律处分条例》、《国家公务员暂行条例》以及《事业单位人事管理条例》。

根据《事业单位人事管理条例》第28条，违规行为包括损害国家声誉和利益、失职渎职、利用职务谋取不正当利益、挥霍浪费国家资财、严重违反职业道德和社会公德，以及其他严重违反纪律的行为。对于这些违规行为，条例规定了具体的处分等级，如警告、记过、降低岗位等级或撤职、直至开除，对应的处分期限分别为6个月、12个月、24个月。

在作出处分决定时，必须确保事实清楚、证据确凿、定性准确、处理公正、程序合法，并完备所有手续。对于受到开除以外处分的人员，若在受处分期间未再出现违纪行为，处分期满后，原处分决定单位将解除处分并书面通知本人。

总之，对行政机关事业编制人员的违法违纪处理，严格按照相关法律法规执行，旨在维护公正与纪律，保障公共利益和职业操守。