线性无关向量组的行列式之所以不等于零,关键在于它们的特性。首先,一个向量组如果只有零解,即不存在非零的线性组合,那么这个向量组就被定义为线性无关。当向量组中仅包含一个非零向量时,它被认为是线性无关的,因为此时不存在其他向量可以完全由它线性表示。
其次,包含零向量的向量组总是线性相关的,因为至少可以找到一个非零线性组合,使得所有向量都变为零。同时,如果向量组中包含多个重复的向量,那么它们必然线性相关,因为至少有一个线性组合可以使得所有重复向量同时出现。增加向量的个数,即使它们在原本的向量组中是线性相关的,新组合后这种相关性依然存在;相反,如果一个向量组原本线性无关,减少向量数量后,这种线性无关性也不会改变。
最后,理解线性相关性的概念有助于我们分析行列式的性质。当向量组线性无关时,其行列式代表了一个重要的量,它不为零,这对于矩阵的逆和行列式性质的许多应用至关重要。总的来说,线性无关性是决定行列式是否为零的关键因素,而线性相关性则会导致行列式为零。