原劳动合同的签订日期。根据《劳动合同法》第三十五条的规定，用人单位与劳动者协商一致，可以变更劳动合同约定的内容。变更劳动合同，应当采用书面形式。变更后的劳动合同文本由用人单位和劳动者各执一份。当员工改名字后，用人单位应与员工协商一致，重新签订劳动合同，变更劳动合同中的姓名信息。重签的劳动合同日期应写原劳动合同的签订日期，以保持劳动关系的连续性和稳定性。